Resolución Primer Parcial Parcial B Análisis Matemático 66 CBC Cátedra Palacios Puebla

ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC

CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA

Parcial B

Ejercicio 1:

Escribir el conjunto $A \cap B$ como intervalo o unión de intervalos y graficarlo en la recta real para:

$A = \{x \text{ } \epsilon \text{ } \mathbb{R} / |x-1| \geq 2 \} $ y $B = \{x \text{ } \epsilon \text{ } \mathbb{R} / \frac{-2}{x+3} < 1 \} $

Ejercicio 2:

Dadas las sucesiones $a_n = (-1)^n + \frac{1}{n^2}$ y $b_n = \frac{3^n+2n^2}{5^n + 7n^3}$

a) Probar que la sucesión $a_n$ está acotada

b) Calcular $\lim_{n \rightarrow +\infty} b_n$ y $\lim_{n \rightarrow +\infty} a_n$

Ejercicio 3:

Sea $f(x) = \frac{2\cos(x) - \sqrt{x^2 + 1}}{3-\sin(x)}$

Explicar por qué la función $f$ es continua en $\mathbb{R}$ y probar, utilizando el teorema de Bolzano, que existe $c \text{ } \epsilon \text{ } [0, \frac{\pi}{2}]$ tal que $f(c) = 0$

Ejercicio 4:

Calcule dominio y asíntotas de

$f(x) = \ln(2x-4) - \ln(x-1) $

y encuentre la cantidad de soluciones de la ecuación $f(x) = k$ para todo $k \text{ } \epsilon \text{ } \mathbb{R}$

Ejercicio 5:

El ojo humano puede distinguir entre dos puntos distantes $P$ y $Q$ siempre que el ángulo de resolución $\theta$ no sea muy pequeño. Suponga que $P$ y $Q$ están a $x$ unidades entre sí y a $d$ unidades del ojo, como se ilustra en la Figura.

Exprese $x$ en términos de $\theta$ y $d$. Decida para qué valores de $d$ será distinguible una pluma de 6 pulgadas de alto vista desde $d$ pies, si el ángulo de resolución es de $\theta = 0.0005$ radianes.

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